Gerak Melingkar - Dalam materi ini kita akan mempelajari mengenai posisi sudut, kecepatan sudut, dan percepatan sudut sebagai persamaan fungsi terhadap waktu. Secara berturut-turut dinyatakan θ(t), ω(t), dan α(t).
1. Posisi Sudut
Posisi sudut dari suatu titik zat yang bergerak melingkar dinyatakan: θ = θ(t), θ(t) merupakan fungsi dari waktu.
2. Kecepatan sudut
Grafik posisi sudut terhadap waktu
Kecepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi perubahan posisi sudut dengan selang waktu tertentu, perhatikan gambar diatas!
(1)
Apabila selang waktu Δt mendekati nol, maka kecepatan benda tersebut adalah kecepatan sesaat, dirumuskan:
(2)
Kecepatan sudut sesaat merupakan turunan pertama dari fungsi posisi sudut terhadap waktu. Dalam sebuah grafik fungsi posisi sudut terhadap waktu (θ – t), kecepatan sudut sesaat ditentukan dari kemiringan grafik tersebut, perhatikan gambar berikut!
Kemiringan grafik menunjukkan besarnya kecepatan sudut.
Jika β adalah sudut kemiringan garis singgung grafik – t, maka kecepatan sudut sesaat dituliskan:
ω = tan β
(3)
Posisi sudut dapat dicari dari fungsi kecepatan sudut sesaat. Apabila kecepatan sudut suatu benda diketahui, kita dapat menentukan fungsi posisi benda dengan mengintegralkan fungsi kecepatan sudut tersebut.
dθ = ω .dt
Jika pada saat t = 0 posisi sudut θ0 dan pada saat t = t posisi sudut θ , maka:
(4)
dengan:
θ0 = posisi sudut awal (rad)
θ = posisi sudut saat t (rad)
ω = kecepatan sudut (rad/s)
t = waktu (s)
3. Percepatan Sudut
Percepatan sudut rata-rata adalah perubahan kecepatan sudut tiap satuan waktu.
(5)
Jika selang waktu Δt mendekati nol, maka percepatan yang dimiliki benda adalah percepatan sesaat yang dirumuskan:
(6)
karena,
maka:
(7)
Percepatan sudut merupakan turunan pertama fungsi kecepatan sudut atau turunan kedua dari fungsi posisi sudut.
Dalam sebuah grafik kecepatan sudut terhadap waktu ( ω - t ), percepatan sudut ditentukan dari kemiringan grafik tersebut, perhatikan gambar berikut!
Kemiringan grafik menunjukkan besarnya percepatan sudut.
Jika β adalah sudut kemiringan garis singgung grafik ω - t , maka percepatan sudut sesaat dituliskan:
α = tan β
(8)
Kecepatan sudut dapat dicari dari fungsi percepatan sudut sesaat. Fungsi kecepatan sudutnya ditentukan dengan mengintegralkan fungsi percepatan sudut tersebut.
dω = α . dt
Jika pada saat t = 0 kecepatan sudutnya ω0 dan pada saat t = t kecepatan sudutnya ω, maka:
(9)
dengan:
ω0= kecapatan sudut awal (rad/s)
ωt= kecepatan sudut pada saat t (rad/s)
α = percepatan sudut (rad/s2)
t = waktu (s)
Contoh Soal
1. Sebuah titik pada roda berotasi dengan persamaan posisi sudut θ =2 + 2t2 + t3, θ dalam radian dan t dalam sekon. Tentukan:
a. posisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 s,
b. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 sampai t = 3 s, dan
c. kecepatan sudut pada saat t = 2 s!
Penyelesaian:
a. Posisi sudut
θ = 2 + 2t2+ t3
t = 2 s → θ= 2 + (2)(2)2 + 23 = 18 rad
b. Kecepatan sudut rata-rata
t = 0 → θ0= 2 rad
t = 3 →θ3= 2 + (2)(3) + 33 = 35 rad
c. Kecepatan sudut sesaat
t = 2 s → ω = (4)(2) + (3)(2)2= 20 rad/s
4. Kinematika Rotasi
a. Gerak Rotasi Beraturan
Gerak rotasi beraturan didefinisikan sebagai gerak rotasi dengan kecepatan sudut konstan atau percepatan sudut nol. Berdasarkan persamaan (4) diperoleh:
Karena kecepatan sudut Z konstan, maka:
(10)
dengan:
θ0 = posisi sudut awal (rad)
θt= posisi sudut pada saat t (rad)
ω = kecepatan sudut (rad/s)
t = waktu (s)
b. Gerak Rotasi Berubah Beraturan
Gerak rotasi berubah beraturan didefinisikan sebagai gerak rotasi dengan percepatan sudut konstan. Berdasarkan persamaan (9) diperoleh:
Karena percepatan sudut α konstan, maka:
(11)
Posisi sudut θ dapat ditentukan dengan memasukkan persamaan (11) ke persamaan (4), sehingga:
(12)
dengan:
θ0 = posisi sudut awal (rad)
θt= posisi sudut pada saat t (rad)
ω0= kecepatan sudut (rad/s)
α = percepatan sudut (rad/s2)
t = waktu (s)
Contoh Soal
1. Sebuah benda dengan jari-jari 20 cm berotasi dengan percepatan sudut tetap 2 rad/s2. Pada saat t = 0 s, kecepatan sudut dan posisi sudutnya masing- masing 5 rad/s dan 10 rad. Tentukan:
a. kecepatan sudut saat t = 5 s,
b. kecepatan linier saat t = 5 s,
c. posisi sudut saat t = 3 s, dan
d. panjang lintasan yang ditempuh selama 4 s!
Penyelesaian:
Diketahui:
R = 20 cm = 0,2 m
ω0= 5 rad/s
α = 2 ras/s2
θ0 = 10 rad
Ditanya:
a. ωt = ... ? (t = 5s)
b. v = ... ? (t = 5s)
c. θt= ... ? (t = 3s)
d . s = ... ? (t = 4s)
Jawab:
a.ω0t = ω0 + α . t = 5 + (2)(5) = 15 rad/s
b. v = ω.R = (15)(0,2) = 3 m/s
c. θt = θ0 + ω0.t + 1/2 α . t2= 10 + (5)(5) + 1/2 (2)(5)2 = 10 + 25 + 25 = 60 rad
d. s = T .R = (60)(0,2) = 12 m
2. Sebuah roda berputar dengan kecepatan 300 putaran per menit, kemudian direm dan 5 sekon kemudian kecepatannya menjadi 60 putaran per menit. Tentukan sudut roda tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui:
ω0 = 2π 300/60 = 10 π rad/s
ωt= 2π 60/60 = 2π rad/s
t = 5 s
Ditanya:
α = ... ?
jawab:
ωt = ω0 + α . t
2π = 10 π + α (5)
5α = 2π -10 π
5α = -8 π
α = - 1,6 π rad/s2