Soal UN dan SBMPTN Beserta Pembahasan Transformasi Geometri

Soal dan Pembahasan Un atau SBMPTN Transformasi Geometri 2012

1. Vektor  dicerminkan terhadap garis    . Kemudian hasilnya diputar terhadap titik asal sebesar searah jarum jam, menghasilkan vektor . Jika  , maka matriks  

             a.      

             b.     

             c. 

             d.     

             e. 

Pembahasan

Matriks transformasi untuk pencerminan terhadap garis adalah.

Matriks tranformasi untuk rotasi terhadap pusat dengan sudut rotasi berlawanan arah jarum jam adalah . Sehingga “rotasi sebesar searah jarum jam” sama artinya dengan rotasi sebesar   

Bandingkan bentuk terakhir dengan sehingga matriks 

Jawaban : E

2. Vektor diputar terhadap titik asal O sebesar searah jarum jam. Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis , menghasilkan vektor . Jika , maka matriks  A = …

   a.     

   b. 

   c. 

   d. 

   e. 

Pembahasan

Matriks tranformasi untuk rotasi dengan pusat rotasi (0, 0) dan sudut putar (searah jarum jam)

Matriks tranformasi untuk Refleksi terhadap 

ditransformasi berturut-turut oleh dan menjadi dengan hubungan , sehingga A adalah matriks komposisi dari dan.

Jawaban : B

3. Vektor dicerminkan terhadap garis y = 0. Kemudian hasilnya diputar terhadap titik asal O sebesar θ>0 searah jarum jam, menghasilkan vektor y ⃑. Jika y ⃑=Ax ⃑, maka matriks A= ...

Pembahasan

*Pertama, dicerminkan terhadap garis y = 0 (sumbu x)

T1 = (■(1&0@0&-1))

**Kedua, dirotasi dengan pusat (0,0) sebesar θ searah jarum jam (θ negatif)

T2 = (■(cos⁡〖(-θ)〗&-sin⁡(-θ)@sin⁡(-θ)&cos⁡(-θ))) = (■(cos⁡〖(θ)〗&sin⁡(θ)@-sin⁡(θ)&cos⁡(θ)))

Matriks gabungannya (MT) :

MT = T1.T2 = (■(cos⁡(θ)&sin⁡(θ)@-sin⁡(θ)&cos⁡(θ) ))(■(1&0@0&-1))

y ⃑=Ax ⃑ artinya matriks gabungannya, sehingga A = MT

Jadi, nilai A = (■(cos⁡(θ)&sin⁡(θ)@-sin⁡(θ)&cos⁡(θ) ))(■(1&0@0&-1))

4. Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2 dilanjutkan dengan translasi ((-3)¦4) adalah ...

a. X2 + y2 - 2x – 8y +13 = 0

b. X2 + y2 + 2x – 8y +13 = 0

c. X2 + y2 - 2x + 8y +13 = 0

d. X2 + y2 + 2x + 8y +13 = 0

e. X2 + y2 + 8x – 2y +13 = 0

Pembahasan

Karena transformasi yang dilakukan tidak memuat dilatasi (perbesaran/pengecilan) maka yang perlu diperhatikan hanya titik pusat saja, sedangkan jari-jari tetap 2.

Lingkaran x2 + y2 = 4  berpusat di (0,0). Oleh pencerminan terhadap garis x = 2 pusat berpindah ke titik (4,0). Selanjutnya, oleh translasi ((-3)¦4) titik pusat bergeser ke titik (1,4) 

Jadi persamaan lingkaran yang baru adalah    

(x-1)^2+ (y-4)^2=4

x^2-2x+1+ y^2-8y+16=4

x^2+ y^2-2x-8y+13=0

JAWAB: A

5. Bayangan kurva 2 93 xx y   jika dirotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90° dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ....

a. x=〖3y〗^2-3y

b. x=y^2+3y

c. x=〖3y〗^2+3y

d. y=〖3x〗^2-3x

e. y=〖3x〗^2+3y

Pembahasan

T1 = (■(0&-1@1&0)) ~ T2 = (■(3&0@0&3))

T_2  ∙ T_1= (■(3&0@0&3))(■(0&-1@1&0))=(■(0&-3@3&0))

(x^'¦y')= (■(0&-3@3&0))(x¦y)

x^'= -3y ~ y= -1/3 x'

y^'=3x ~ x=  1/3 y'

y=3x-9y^2  ~ (-1/3 x^' )=3(1/3 y^' )-9(-1/3 x^' )

x^'=〖3y〗^'2-3y'

Jawab : A